Юрий Иванович Казаков родился в Архангельске, в семье баяниста. В шесть лет, научившись играть на венской гармонике, он выступал уже перед публикой. Влияние отца и его помощь определили дальнейшую судьбу мальчика. В предвоенные годы он начал работать в филармонии родного города, во время войны участвовал в ансамбле Северного флота. В 1946 году Казаков становится артистом Архангельской филармонии. Участвует в бригаде литературно-музыкального лектория. В это же время под руководством композитора П. Ф. Кольцова, большого знатока северной песни, создает «Фантазию на темы двух северных народных песен» («Солнышко всходит» и «У Катюши»), а также «Северные русские народные наигрыши».
В 1950-е годы в исполнительскую практику входит готово-выборный баян, на котором зазвучали классические произведения. Ю. Казаков расстается со своим старым баяном, принадлежащим еще его отцу, и переходит на новый — готово-выборный. После гастролей по многим городам Союза он в 1954 году выступил в Москве. Успех окрылил музыканта. Он поступает в Музыкально-педагогический институт имени Гнесиных, в класс Н. Я. Чайкина, а на следующий год становится лауреатом конкурса исполнителей на народных инструментах пятого Всемирного фестиваля молодежи и студентов в Варшаве, где ему присуждается диплом первой степени и золотая медаль.
В 1957 году в Малом зале Московской консерватории успешно прошел сольный концерт баяниста, в котором прозвучала обширная и разнообразная программа. С тех пор артист много гастролирует по стране. Он выступает не только в концертных залах крупных городов, но и в рыбачьих поселках Таймыра, острова Диксон, на рудниках Норильска, у металлургов Липецка, на полевых станах целинного края. Казаков проявил себя и как прекрасный ансамблист: он участвует в разных составах: с двумя скрипками, флейтами (трио-сонаты Баха), арфами, с виолончелью, балалайкой, солирует с симфоническим оркестром. Уже этот перечень говорит о необыкновенном разнообразии исполняемого репертуара.
В 1950-е годы начинаются и зарубежные гастроли баяниста. География гастролей обширна: Скандинавия, Латинская Америка, Англия, Франция, Швейцария, Япония, Вьетнам… В репертуаре концертанта — произведения Баха, Моцарта, Шопена, Чайковского, Лядова, Мусоргского, Листа, Шумана, Шостаковича, Прокофьева, Чайкина, Холминова, собственные обработки народных песен. Его искусство получило высокое признание в многочисленных газетных и журнальных рецензиях и заметках как в России, так и за рубежом.
Исполнительское искусство Казакова привлекает внимание известных композиторов. «Он прекрасный музыкант, многое делающий для пропаганды классической и современной музыки, -говорит Р. К. Щедрин, — хочу особо отметить его неуспокоенность, бескорыстное стремление привлечь к баяну внимание самой широкой общественности, музыкальной — больше всего». И действительно, народный артист РСФСР Ю. И. Казаков — не только музыкант, но и агитатор, пропагандист; он ведет большую публицистическую деятельность, выступает с лекциями, беседами, его статьи публикуются в периодической печати.
